Da Fire and Ice ein Zwei-Personen-Strategie-Spiel ist, ist es nach meiner Meinung berechtigt, sich darüber intellektuell auszulassen. Für mich verkörpert es meinen bislang besten Versuch Mathematik und Spiel miteinander zu verknüpfen. Dabei hatte ich immer die Vorstellung, dass man die Idee von mathematischen Phänomenen in strukturell angelegte Spielen verwirklicht, ohne den Spieler mit den elendigen, mathematischen Formalismen zu überfordern (was ich hoffentlich hier jetzt mit Dir nicht tue!).

Fire and Ice basiert auf einer mathematischen Struktur, der projektiven Ebene der Ordnung 2. Diese Struktur ist eine endliche Geometrie, die Ende des 19.Jh erfunden worden ist und von der man damals geglaubt hat, dass sie reine Theorie ist und niemals Anwendung finden wird. Heute weiß man, dass sie sehr wohl eine technische Anwendung hat, nämlich als Basistheorie für Codierungsverfahren, d.h. Algorithmen zur Verschlüsselung von Daten werden in dieser Geometrie beschrieben.

Mir ist diese Struktur als Spieleautor vor etwa sechs Jahren aufgefallen, da sie mit Eigenschaften gekoppelt ist, die sich richtig eingebettet in ein Spiel spieldynamisch auswirken müssen.

Schau Dir mal ein erhöhtes Dreieck auf dem Spielplan an. Dies ist die projektive Ebene der Ordnung 2 mit sieben Punkten (Felder bzw. Löcher) und sieben Geraden (Die Geraden sind nun das einzige, was der Spieler im formalen Sinne verstehen muss!). Geraden bestehen immer aus drei Punkten. Es gibt die drei Außenkanten des Dreiecks, die drei Höhen und den Kreis, die jeweils eine Gerade bilden oder im Sinne des Spiels eine Gewinnmenge.

Die Mathematiker haben als bildliche Darstellung für die projektive Ebenen nie eine bessere als die gegebene gefunden. Dieses Bild suggeriert einige Symmetrien. So sind die drei Eckfelder oder die drei Felder auf dem Kreis durch Drehsymmetrie ineinander überführbar. Es gibt aber noch weitere optisch nicht sichtbare, aber formal feststellbare Symmetrien. Dies kann man sich plausibel machen, indem man feststellt, dass jedes Feld zu genau drei Gewinnmengen gehört. Formal ist es sogar so, dass unter dem Aspekt der Gewinnmengen betrachtet jedes Feld strukturgleich zu jedem anderen ist, das heißt sie im formalen Sinne ineinander überführbar sind, ohne dass die Gewinnmengen sich verändert darstellen würden.

Der Spielplan ist selbstähnlich aufgebaut. Den selbstähnlichen Aufbau dieser Struktur habe ich mir selber ausgedacht und mir ist bisher kein Beispiel in der Mathematik aufgefallen, in dem diese selbstähnliche Struktur benutzt wird. Im Kleinen bilden die sieben Punkte mit den Linien eine projektive Ebene und im Großen bildet das gesamte Spielfeld mit den sieben Dreiecken und den Linien dazwischen eine projektive Ebene. Alle Eigenschaften der projektiven Ebene, die für das Spiel relevant sind, lassen sich auch auf die größere, selbstähnliche Struktur, d.h. das Spielfeld, übertragen. Auch das Spielziel ist selbstähnlich definiert: Ein Dreieck ist erobert, wenn ein Spieler eine Gewinnmenge (Linie oder Kreis) mit eigenen Steckern besetzt und das Spiel ist gewonnen, wenn ein Spieler drei Dreiecke auf einer Gewinnmenge (Linie oder Kreis) erobert.

Wie oben beschrieben sind Felder in einem Dreieck formal (d.h. unter dem Aspekt der Gewinnmengen gesehen!) symmetrisch zueinander. Analog gilt dies für die Dreiecke im Großen. Verknüpft man beide Eigenschaften, so ergibt sich insgesamt, dass jedes Feld auf dem Spielfeld formal symmetrisch zu jedem anderen ist. Dies führt zu der Aussage, dass das Spielfeld keinen strategischen Rand und keine strategische Mitte besitzt, sondern jede strategische Situation an jeder Stelle gleichartig auftauchen kann. Eine strategische Situation ist auch nicht generell durch das Spielfeld gegeben, sondern ergibt sich viel stärker durch die Stellung der Stecker. So wirkt es zu Beginn des Spiels relativ beliebig, wie man spielt, was sich aber dann mit jedem weiteren Zug ändert.

Die projektive Ebene als Spielfeld hat mit der spielerischen Aufgabe Positionen zu besetzen starke Nähe zum Tic-Tac-Toe mit dem 3 x 3 - Raster. Allerdings besitzt sie die interessanteren Eigenschaften.

So ist es unmöglich, dass beide Spieler eine Gewinnmenge besetzt halten. (Oder präziser: Zwei Gewinnmengen haben immer ein Feld gemeinsam!). Damit hat ein Spieler, der ein Dreieck erobert, dies eindeutig gewonnen, weil er gleichzeitig damit verhindert, dass der andere Spieler es erobern kann. Diese Struktureigenschaft (sowie die weiter unten folgende!) führt zu einer verstärkten gegenseitigen Konkurrenz.
Auch diese Eigenschaft wirkt auf dem gesamten Spielfeld. In der mathematischen Literatur werden solche Positionsspiele Maker-Breaker-Spiele genannt. Als Spieler kann man sich sowohl in der Maker-Rolle fühlen, die versucht das Spielziel zu erreichen, als auch in der Breaker-Rolle, die versucht, das gegnerische Spielziel zu verhindern. Beide Rollen sind im strategischen Sinne identisch, weil das Erreichen einer Gewinnmenge gleichzeitig und immer nur dann jede gegnerische Gewinnmenge verhindert.

Eine weitere Eigenschaft ist besonders faszinierend und ungewöhnlich: Werden alle sieben Felder der projektiven Ebene mit Steckern in den zwei Spielerfarben besetzt, so muss es einen Spieler geben, der eine Gewinnmenge erobert hält. Dies gilt, egal welche Steckerverteilung man wählt. Probier es einfach mal aus, die Stecker so zu platzieren, dass kein Spieler eine Gewinnmenge hat, und du wirst sehen, dass man daran scheitern muss. Das heißt mit jedem Stecker, der mehr in eine projektive Ebene gesetzt wird, ergibt sich zwangsläufig eine Verschärfung der Spielsituation und spätestens sobald alle Felder besetzt sind, muss es einen Spieler geben der das Dreieck erobert hat. Auch diese Eigenschaft passt zur Selbstähnlichkeit des Spielfelds und des Spielziels. Denn spätestens, wenn alle 49 Felder des Spielfeldes mit Steckern besetzt sind, sind alle sieben Dreiecke von den beiden Spielern erobert und nach analoger Argumentation, muss es dann auch einen Spieler geben, der drei Dreiecke auf einer Gewinnmenge erobert hält und damit das Spiel gewinnt. Da der Rhythmus des Spiels so ist, dass in jedem Zug ein Stecker mehr auf das Spielfeld kommt, muss das Spiel nach spätestens 48 Zügen (ein Stecker steht schon zu Beginn des Spiels auf dem Spielfeld!) beendet sein und einen Sieger ergeben. D.h. es ist unmöglich, dass das Spiel auf unentschieden hinausläuft. Dies bedeutet, dass das Spiel von zwei strategischen Idioten lediglich nach der Regel gespielt werden kann, und diese spätestens nach 48 Zügen einen Sieger feststellen werden. Es bedeutet aber vielmehr, dass sich in jedem Zug die strategische Situation zuspitzt, weil man zwangsläufig einem Sieg immer näher kommt. Damit hat man eine stetig ansteigende Brisanzkurve, wie man sie sich für einen dynamischen Verlauf eines Spiels wünscht, die durch das Gefühl der Beliebigkeit der Züge zu Beginn des Spiels aufgrund der symmetrischen Gleichheit der Felder noch verstärkt wird.

Leider war es nicht möglich, das Spiel als reines Positionsspiel (die Spieler setzen abwechselnd einen eigenen Stecker!) anzubieten, denn dafür gibt es eine leicht zu beschreibende Gewinnstrategie, die sich sogar wiederum auch im selbstähnlichen Sinne beschreiben lässt. Dies war Anlass nach einem komplexeren Zugrhythmus zu streben, der mehr strategische Tiefe beinhaltet, auf die Auswirkungen der Struktureigenschaften Rücksicht nimmt und sie für den Spieler erlebbar macht.

Der Zugrhythmus ist so, dass man im eigenen Zug seine Konstellation durch das Versetzen eines eigenen Stecker verbessern kann und gleichzeitig dafür sorgt, wohin der Gegenspieler einen Stecker bekommt. Damit ist man mehr als in anderen Spielen darauf angewiesen, was der Gegenspieler für die eigenen Stecker tut und muss sich damit auch mehr auf den Gegenspieler einlassen. Insgesamt ist es schwerer als im reinen Positionsspiel optimale Positionen besetzt zu bekommen, so dass das Spiel im Vergleich zum reinen Positionsspiel auch mehr Züge braucht und damit engere Kopplung mit dem Brisanzphänomen "nie unentschieden" hat.

Die Bewegung des eigenen Steckers kann nur innerhalb des Dreiecks oder auf dieselbe Position eines anderen Dreiecks gemacht werden. Mit dieser Regel gewinnen die Positionen im Dreieck Bedeutung, denn eine Positionen in einem unbesetzten Dreieck, die man in keinem anderen Dreieck besetzt hält, kann man erst nach zwei Bewegungsschritten erreichen. Da es spieldynamisch in Positionsspielen häufig um Vorhandsituationen geht, können bestimmte Positionen das Ausnutzen der Vorhand unmöglich machen, obwohl man am Zug ist.

Das reine Positionsspiel zeigt, dass es eine Gewinnstrategie für den ersten Spieler gibt und im Allgemeinen ist es so, dass der erste Spieler in Positionsspielen einen Vorteil hat (Strategienklauargument), weil es um das Festlegen von optimalen Positionen geht und mit jeder Festlegung verhindert wird, dass der Gegner im weiteren Spielverlauf dort hin kann und damit die Frühzeitigkeit des Festlegens ein latenter Vorteil ist. In Zwei-Personen-Strategie-Spielen (ohne Zufall, mit vollständiger Information) existiert immer eine Gewinnstrategie oder Unentschiedenstrategie (unentschieden ist hier aber nicht möglich!) und es ist sehr wahrscheinlich (aber nicht sicher!), dass es in Fire and Ice eine für den ersten Spieler gibt (wie bei den meisten Positionsspielen!). Aufgrund der vielen Symmetrieargumente und der Begrenztheit der Züge bin ich mir auch sicher, dass man durch eine Computeranalyse herausfinden kann, ob der erste oder der zweite die Gewinnstrategie hat (ich vermute schon der erste, obwohl isolierte Positionen auftreten können, die so entgegen dem Positionsspielcharakter sind, dass diese auch dazu führen könnten, dass die Gewinnstrategie beim zweiten Spieler liegt). Auf dieser Ebene bin ich leider nicht fit so etwas zu programmieren. Ich glaube aber, dass auch solche Computeranalysen nur vom theoretischen Interesse sind. Von Mühle weiß man, dass es eine Gewinnstrategie für den ersten Spieler gibt, aber was viel entscheidender ist, man kennt kein sicheres Pattern wie der erste Spieler spielen muss, damit er gewinnen kann. Die Gewinnstrategie ist so komplex und ohne strukturellen Bezug, dass sie für Spieler nicht nachvollziehbar und erlernbar ist und damit in der Spielpraxis keine Bedeutung besitzt. Deshalb fürchte ich nur eine nachvollziehbare Gewinnstrategie für mein Spiel, die ich mit meinem theoretischen Background - gerade über Positionsspiele - bisher nicht gefunden habe.

Im Vergleich zum reinen Positionsspiel ist der Vorteil des ersten Spielers auch abgeschwächt, weil immer dann ein Vorteil für einen Spieler besteht, wenn er einen Stecker mehr als der andere auf dem Spielfeld hat. Diese Vorteilssituation ergibt sich aber dann, wenn der Gegenspieler am Zug ist. Somit unterliegt es dem Gegenspieler wie sehr er diese Tatsache zu einem Vorteil des anderen werden lässt.

Auf dieser Spielfeldstruktur mit dieser Siegbedingung hat es mehrere Vorläuferregeln gegeben. Mir war relativ schnell klar, dass das reine Positionsspiel als reizvolles Spiel nicht funktioniert und man einen zusätzlichen Reiz braucht, der aber auch noch gut zu den Eigenschaften der Struktur passen sollte, d.h. sie nicht zerstören sollte. Ich habe Spielsteine gehabt, die Reversi-mäßig umgedreht wurden und man konnte sich entscheiden einen gegnerischen Stein umzudrehen oder zwei eigene zu setzen, aber dadurch fehlte die Stringenz, die gewährleistet, dass in jedem Zug ein Stein hinzukommt. Seit zwei Jahren hat sich meine Sichtweise auf Spiele stärker verschoben und zwar hin auf den Focus Spieldynamik. Frustriert von der Tatsache, dass im deutschsprachigen Raum abstrakte Spiele von Verlagsseite nicht unbedingt gewollt sind, lag das mathematische Spiel länger brach. Impuls für mich das Spiel wieder aufzugreifen, war das Auftreten von PinToy und der sehr gute Kontakt zu Dale Walton, der zudem auch noch eine mathematische Ader hat und den die Spielfeldstruktur gleich begeisterte. Er brachte die Idee auf, es mit Bewegung der Steine im Spiel zu versuchen und hat die jetzige Bewegungsregel entweder gleiches Dreieck oder gleiche Position ins Spiel gebracht. Dann kamen von Dale eher unelegante Vorschläge, wie neue Steine ins Spiel gebracht werden und mir fiel dann die einfache Regel ein, einen gegnerischen Stein auf das Ausgangsfeld des bewegten Steins zu setzen - auch unter dem Focus, das mir spieldynamisch klar war: Wenn es eine Regel gibt, die den notwendigen Sieg möglichst lange hinauszögert, dann spürt man am stärksten die von der Struktur ausgehende Zwangsläufigkeit hin zu einem Sieger, was diese Regel gut löst.
Spieldynamisch fand ich es auch reizvoll, wenn ein Spieler in seinem Zug sowohl etwas für sich als auch etwas für (bzw. gegen) den anderen Spieler tut. Damit steckt man viel mehr in einer Abhängigkeit vom anderen, was Möglichkeiten mit eigenen Steinen betrifft. Als wir diese Regel hatten, merkten wir wie gut sie funktioniert und war aufgrund ihrer Eleganz unumstößlich geworden.

Kritisch sehe ich den Einstieg ins Spiel, da die Spieler aufgrund der subtilen Strategien (wichtig ist, wo die Stecker in Abhängigkeit zu den anderen stecken!) und der relativen Beliebigkeit, die man zu Beginn der Partie verspürt, sich anstrengen müssen, die Aspekte des Spiel zu entdecken. Gelingt der Einstieg machen die Spieler auf dem Weg der strategischen Verbesserung sehr ungewöhnliche Erfahrung mit dem inhärenten, hohen Grad der Symmetrie, was sicherlich auch die mathematische Faszination dieser Struktur ausmacht.

Jens-Peter Schliermann